Méthode de Héron

Dans la série des grands algorithmes permettant d'approcher des nombres irrationnels, on peut trouver la méthode de Héron, aussi appelée methode Babylonienne.

Cette méthode d'extraction des racines carrées est très ancienne. Elle a été attribuée à Héron d'Alexandrie, mathématicien grec du Ier siècle après J.C., mais certaines traces plus anciennes semblent faire remonter cette méthode bien plus loin encore, à l'époque Babylonienne.

Graphiquement, il s'agit de prendre un rectangle de longueur fixée $x$ et d'aire $a$. ce rectangle a donc pour largeur $\dfrac{a}{x}$. On construit ensuite un nouveau rectangle dont la longueur est la moyenne arithmétique des deux côtés précédents, soit $\dfrac{1}{2}\left( x + \dfrac{a}{x}\right)$.

Les rectangles ainsi construits vont "être de moins en moins rectangle" et se rapprocher du carré d'aire $a$.

Pratiquement, pour l'extraction de $\sqrt{a}$, avec $a$ réel positif, on utilise la suite récurrente définie par $ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left( u_n + \dfrac{a}{u_n}\right)$ et où $u0$ est un nombre réel strictement positif.

On obtient ainsi une approximation de $\sqrt{a}$, et ce rapidement - le choix de la valeur $u_0$ étant primordial.

Voici ci-dessous une construction Geogebra permettant de visualiser cet algorithme pour quelques valeurs entières de $a$.